von Neumann III: o matemático

O matemático teórico

TEORIA DOS CONJUNTOS ? Os primeiros trabalhos de John von Neumann em matemática pura, ainda nos tempos em que vivia em Berlin, foram no campo da teoria dos conjuntos, assunto de sua tese de doutorado. Provavelmente a maioria dos que estão lendo estas mal traçadas mal faz ideia do que se trata, e com justa razão já que ultimamente pouco se tem falado dela. Mas há cerca de meio século a teoria dos conjuntos estava, digamos, “na moda”, e havia mesmo um movimento entre os pedagogos no sentido de abandonar o ensino tradicional de matemática e começar, desde o curso primário, a familiarizar as crianças com esta teoria para, através dela, entrar no mundo da aritmética (eis aqui, batucando neste teclado, uma vítima destes fariseus). Quando von Neumann dedicou sua atenção a este campo, a teoria dos conjuntos padecia de uma inconsistência formal denominada “paradoxo de Russel“. Vou tentar explicar (ao menos o paradoxo; sua solução, concebida por von Neumann, já será mais complicada).

Um “conjunto” é um grupo de objetos bem definidos, em geral em função de uma propriedade comum. Estes objetos são “membros” ou “elementos” do conjunto e podem ser qualquer coisa: números, pessoas, coisas, animais e até mesmo outros conjuntos. Se um objeto é membro de um conjunto, então se diz que ele “pertence” ao conjunto.

Conjuntos são objetos peculiares. Em tudo o que diz respeito à teoria dos conjuntos a ordem dos elementos é irrelevante e elementos podem ser repetidos. O que realmente importa é saber se o objeto pertence ou não ao conjunto (é a teoria dos conjuntos que permite estabelecer a melhor definição que conheço para “número”, uma definição recursiva: “número é o conjunto de todos os conjuntos que contêm o mesmo número de elementos”).

Dentre as diversas formas de especificar um conjunto a mais comum é a dita “intencional”, ou seja, a que se baseia na propriedade comum a seus elementos. Ela usa a seguinte notação:

X = {a: a tem tal propriedade}

Que se lê: “o conjunto ?X? dos elementos ?a? tais que cada um deles tem tal propriedade”. Por exemplo, pode-se definir o conjunto particularmente importante MX:

MX = {m: m tem olhos verdes e sorriso encantador}

(a particular importância deste conjunto deve-se ao fato de que Mariana Ximenes, o elemento m mostrado na Figura, pertence a ele, felizardo!)

Mas vamos ao paradoxo de Russel, que é o que importa no momento.

Defina-se o conjunto Z, cuja condição é ser formado pelos “conjuntos que não são membros de si mesmos”, a saber:

Z = {x: x não é membro de x}

Em tese, nada impede que se use esta definição para estabelecer um conjunto, já que, conforme determina a própria teoria dos conjuntos, eles podem ser estabelecidos a partir de qualquer condição coerente (e se não houver em todo o universo um só elemento que a exiba teremos um conjunto “vazio”, o que não invalida a definição).

Então, com base na definição acima, diga-me lá: Z é um elemento de Z?

Se for, alguma coisa está errada, já que, pela definição, Z é o conjunto dos conjuntos que NÃO pertencem a si mesmos. Portanto, com base na própria condição que estabelece Z, somos obrigados a afirmar que Z não pertence a Z. Agora examine novamente a condição e veja que ela abrange o conjunto dos conjuntos que NÃO pertencem a si mesmos. E o conjunto Z se enquadra perfeitamente nela, pois acabamos de provar que Z não pertence a Z. Portanto, podemos concluir que Z pertence a Z.

Se, neste ponto, você acaba de exclamar um sonoro “cuméquié?”, então é porque percebeu a natureza do paradoxo.

E uma teoria que contém um paradoxo como este não pode ser considerada uma teoria consistente. Para que seja, é preciso estabelecer uma base teórica sólida que permita excluir do universo de todos os conjuntos aqueles que sejam um elemento de si mesmos.

Pois bem: foi exatamente isto que fez von Neumann em sua tese de doutorado, estabelecendo o “axioma da regularidade” e a noção de “classe“.

Quer saber como? Ora, me poupe! Basta clicar nos atalhos aí de cima…

MECÂNICA QUÂNTICA ? Em minha opinião mecânica quântica é um dos mais fascinantes campos do conhecimento humano. Tanto assim que ultimamente tenho lido ? e aprendido ? muito sobre ela. E tudo o que li e aprendi me leva a uma conclusão indubitável: não dá para escrever colunas sobre. E não porque o tema seja controverso. Controverso, hoje em dia, já não é mais (e qualquer pessoa que acompanhe atentamente as realizações dos jovens ? porém já famosos e eminentes ? cientistas Sheldon L. Cooper e Leonard Hofstadter sabe disto). A questão é que para entender seus conceitos mais básicos é exigido tamanho grau de abstração e um divórcio tão radicalmente litigioso com a mecânica newtoniana e a geometria euclidiana que, honestamente, por mais que eu os entenda (e, para ser sincero, eu os entendo muito menos do que gostaria e necessitaria para escrever a respeito), não me sinto capaz de discorrer sobre eles. Mas, para quem tiver muita disposição, sólida base teórica e não se desnortear perante o absolutamente novo, recomendo enfaticamente uma incursão nos tortuosos campos da mecânica quântica pois, correndo o risco de me tornar repetitivo, não tenho como deixar de enfatizar: é absolutamente fascinante.

A contribuição de von Neumann para a mecânica quântica deu-se em uma época em que ela ainda estava no nascedouro e seus princípios básicos sendo concebidos. Em épocas como esta, é natural que diferentes teorias ao mesmo tempo convirjam e se choquem. A contribuição de von Neumann foi essencial para conciliar alguns destes choques.

Como eu disse, não dá para entrar em detalhes aqui. Mas, para os interessados, o primeiro livro publicado por John von Neumann (1932) foi, justamente, “Mathematische Grundlagen der Quantenmechanik”. Para quem achar o texto em alemão demasiadamente complexo, informo que a Amazon vende pela pechincha de US$ 49,61 (o preço original era US$ 78,50 mas presumo que o fato de não ser propriamente um sucesso de vendas forçou a Amazon a reduzi-lo) a edição em inglês, “Mathematical Foundations of Quantum Mechanics”. Corra para garantir o seu, que só há 23 exemplares novos disponíveis e desconfio que depois que esta coluna for publicada e com toda esta propaganda, muito provavelmente este número cairá vertiginosamente. Talvez, quem sabe, para 22.